미적분 예제

$f (x) = x \ln (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \ln (x) \cdot 1$

단계 1.3.4

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \ln (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $1 + \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

단계 2.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

단계 2.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{1}{x}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$1 + \ln (x) = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \ln (x) \cdot 1$

단계 4.1.3.4

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $1 + \ln (x)$ 입니다.

$1 + \ln (x)$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $1 + \ln (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$1 + \ln (x) = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\ln (x) = - 1$

단계 5.3

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = - 1$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 1} = x$

단계 5.5

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.5.1

$x = e^{- 1}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{- 1}$

단계 5.5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{e}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 6.2

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 7

계산할 임계점.

$x = \frac{1}{e}$

단계 8

$x = \frac{1}{e}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$1 e$

단계 9.2

$e$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{1}{e}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{1}{e}$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = \frac{1}{e}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{e}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$\frac{1}{e}$ 을 $1 e^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

단계 11.2.2

$\ln (1 e^{- 1})$ 을 $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

단계 11.2.3

로그 공식을 이용해 지수에서 $- 1$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

단계 11.2.4

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

단계 11.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

단계 11.2.6

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

단계 11.2.7

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

단계 11.2.8

$\frac{1}{e}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

단계 11.2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

단계 11.2.10

최종 답은 $- \frac{1}{e}$ 입니다.

$y = - \frac{1}{e}$

단계 12

$f (x) = x \ln (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ 은 극솟값임

단계 13