미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $r = 2 \tan (t)$ 라고 하면 $d r = 2 \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $2 \sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$2 \tan (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.3

$4 \tan^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.4

$4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.5

항을 다시 배열합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.7

$4 \sec^{2} (t)$ 을 ${(2 \sec (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2 \sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$2 \sec^{2} (t)$ 에서 $2 \sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

단계 2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

단계 2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2 \tan (t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

단계 2.2.2.2

$2 (\tan (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

단계 2.2.2.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int_{0}^{0.4636476} 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

단계 3

$8$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

단계 4

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 5

$\tan^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 6

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 7

간단히 합니다.

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

단계 8

먼저 $u = \sec (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = \sec (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$\sec (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

단계 8.1.2

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec (t) \tan (t)$ 입니다.

$\sec (t) \tan (t)$

단계 8.2

$u = \sec (t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sec (0)$

단계 8.3

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 8.4

$u = \sec (t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

단계 8.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

단계 8.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$8 \int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 + u^{2} d u$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$8 (\int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$- u]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ 와 $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ 을 묶습니다.

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

단계 12.2

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$8 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\sec (0.4636476)$ , $1$ 일 때, $- u + \frac{u^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$8 ((- \sec (0.4636476) + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

단계 13.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \sec (0.4636476)$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$8 (- \sec (0.4636476) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

단계 13.2.2

$- \sec (0.4636476)$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

단계 13.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3 + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

단계 13.2.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

단계 13.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

단계 13.2.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

단계 13.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

단계 13.2.8

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

단계 13.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

단계 13.2.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.10.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

단계 13.2.10.2

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 2}{3})$

단계 13.2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - - \frac{2}{3})$

단계 13.2.12

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

단계 13.2.13

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$- 3 \sec (0.4636476)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

단계 14.2

$\sec^{3} (0.4636476)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

단계 14.3

$- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

단계 14.4

$- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ 을 $- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ 로 바꿔 씁니다.

$8 (\frac{- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

단계 14.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

소수 형태:

$0.11584138 \dots$

단계 16