미적분 예제

$\int x \sin^{3} (x) d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sin^{3} (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - \int - \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\int - \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \int \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

단계 4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

단계 5

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{3} (x) d x)$

단계 6

$\cos^{2} (x)$ 로 인수분해합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{2} (x) \cos (x) d x)$

단계 7

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 를 $1 - \sin^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x)$

단계 8

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 8.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int 1 - u^{2} d u)$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (\int d u + \int - u^{2} d u))$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C + \int - u^{2} d u))$

단계 11

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - \int u^{2} d u))$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)))$

단계 13

간단히 합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (u - \frac{1}{3} u^{3})) + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x))) + C$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$\sin^{3} (x)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

단계 15.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} \sin (x) + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

단계 15.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

단계 15.1.4

$\frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.4.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{\sin^{3} (x)}{3}$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{3 \cdot 3}) + C$

단계 15.1.4.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \sin (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.3

$- \sin (x)$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1.1

$- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1.1.1

$- \sin (x) \cdot 3$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.5.1.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.5.1.1.3

$\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.5.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.5.1.3

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) \cdot - 2}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.5.2

$\sin (x)$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- 2 \cdot \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \frac{2 \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

단계 15.6

분배 법칙을 적용합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - - \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

단계 15.7

$- - \frac{2 \sin (x)}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + 1 \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

단계 15.7.2

$\frac{2 \sin (x)}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

단계 15.8

$- - \frac{\sin^{3} (x)}{9}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.8.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + 1 \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

단계 15.8.2

$\frac{\sin^{3} (x)}{9}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2}{3} \sin (x) + \frac{1}{9} \sin^{3} (x) + C$