미적분 예제

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

단계 1

먼저 $u = - t^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 t d t$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = t d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = - t^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$- t^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

단계 1.1.2

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (2 t)$

단계 1.1.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 t$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

${\sqrt{- u}}^{2}$ 을 $- u$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{- u}$ 을(를) ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.5

간단히 합니다.

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.5

$\frac{1}{2}$ 와 $u$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

단계 2.6

$\frac{u}{2}$ 와 $e^{u}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

단계 4

$w = u$ 이고 $dv = e^{u}$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

단계 5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

단계 6

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $- t^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

단계 8.2

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

단계 8.2.2

$e^{- t^{2}}$ 와 $\frac{t^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

단계 8.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{- t^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

단계 8.4

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$