미적분 예제

$x^{2} + y^{2} = 25$

단계 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$y^{2} = 25 - x^{2}$

단계 1.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

단계 1.3

$\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

단계 1.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 5$ 이고 $b = x$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

단계 1.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 1.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

단계 1.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

단계 1.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

단계 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \to f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \to f (x) = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

단계 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 25$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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단계 3.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (25)$

단계 3.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

미분합니다.

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단계 3.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + 2 y y'$

단계 3.2.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 y y' + 2 x$

단계 3.3

$25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$0$

단계 3.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y y' + 2 x = 0$

단계 3.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.5.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$2 y y' = - 2 x$

단계 3.5.2

$2 y y' = - 2 x$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.1

$2 y y' = - 2 x$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

단계 3.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

단계 3.5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

단계 3.5.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

단계 3.5.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

단계 3.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.3.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.3.1.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

단계 3.5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.3.1.2.1

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

단계 3.5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

단계 3.5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- x}{y}$

단계 3.5.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x}{y}$

단계 3.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

단계 4

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x = 0$

단계 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ at $x = 0$ .

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (0) = \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

단계 5.2.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = \sqrt{5 (5 - (0))}$

단계 5.2.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = \sqrt{5 (5 + 0)}$

단계 5.2.4

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = \sqrt{5 \cdot 5}$

단계 5.2.5

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (0) = \sqrt{25}$

단계 5.2.6

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (0) = \sqrt{5^{2}}$

단계 5.2.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (0) = 5$

단계 5.2.8

최종 답은 $5$ 입니다.

$5$

단계 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ at $x = 0$ .

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = - \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (0) = - \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

단계 6.2.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = - \sqrt{5 (5 - (0))}$

단계 6.2.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = - \sqrt{5 (5 + 0)}$

단계 6.2.4

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = - \sqrt{5 \cdot 5}$

단계 6.2.5

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (0) = - \sqrt{25}$

단계 6.2.6

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (0) = - \sqrt{5^{2}}$

단계 6.2.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (0) = - 1 \cdot 5$

단계 6.2.8

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (0) = - 5$

단계 6.2.9

최종 답은 $- 5$ 입니다.

$- 5$

단계 7

The horizontal tangent lines are $y = 5, y = - 5$

$y = 5, y = - 5$

단계 8