미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

단계 1.1.4.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x^{2} + 6 x - 12$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$6 x^{2} + 6 x - 12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$6 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

단계 2.2.1.2

$6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

단계 2.2.1.3

$- 12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

단계 2.2.1.4

$6 (x^{2}) + 6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

단계 2.2.1.5

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

단계 2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

단계 2.4

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.6

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 2$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $1, - 2$ 입니다.

$1, - 2$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) - 12$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 6 (- 3) - 12$

단계 5.2.1.2

$6$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = 54 + 6 (- 3) - 12$

단계 5.2.1.3

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = 54 - 18 - 12$

단계 5.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$54$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$f' (- 3) = 36 - 12$

단계 5.2.2.2

$36$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f' (- 3) = 24$

단계 5.2.3

최종 답은 $24$ 입니다.

$24$

단계 5.3

$x = - 3$ 에서의 도함수는 $24$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 2, 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 6.2.1.1.1

$- \frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.6.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.6.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.6.3

공약수로 약분합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.6.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.7

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.8.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.8.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 12$

단계 6.2.1.8.3

공약수로 약분합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 12$

단계 6.2.1.8.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 12$

단계 6.2.1.9

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 12$

단계 6.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 3$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 12$

단계 6.2.2.2

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 12$

단계 6.2.2.3

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 12$

단계 6.2.2.4

$- 12$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1}$

단계 6.2.2.5

$\frac{- 12}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

단계 6.2.2.6

$\frac{- 12}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 12 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.4.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 12 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.4.2

$- 12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 24}{2}$

단계 6.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

$3$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 24}{2}$

단계 6.2.5.2

$- 3$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 27}{2}$

단계 6.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{27}{2}$

단계 6.2.6

최종 답은 $- \frac{27}{2}$ 입니다.

$- \frac{27}{2}$

단계 6.3

$x = - \frac{1}{2}$ 에서의 도함수는 $- \frac{27}{2}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 2, 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- 2, 1)$ 에서 감소함

단계 7

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} + 6 (2) - 12$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = 6 \cdot 4 + 6 (2) - 12$

단계 7.2.1.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 24 + 6 (2) - 12$

단계 7.2.1.3

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 24 + 12 - 12$

단계 7.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$24$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f' (2) = 36 - 12$

단계 7.2.2.2

$36$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f' (2) = 24$

단계 7.2.3

최종 답은 $24$ 입니다.

$24$

단계 7.3

$x = 2$ 에서의 도함수는 $24$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 2), (1, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- 2, 1)$

단계 9