미적분 예제

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = 2 x - 4$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$2 x - x^{2} = 2 x - 4$

단계 1.2

$2 x - x^{2} = 2 x - 4$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$2 x - x^{2} - 2 x = - 4$

단계 1.2.1.2

$2 x - x^{2} - 2 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.2.1

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- x^{2} + 0 = - 4$

단계 1.2.1.2.2

$- x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- x^{2} = - 4$

단계 1.2.2

$- x^{2} = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$- x^{2} = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 4$

단계 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 1.2.4

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 1.2.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 1.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 1.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 1.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 1.3

$x = 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = 2 (2) - 4$

단계 1.3.2

$2 (2) - 4$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = 4 - 4$

단계 1.3.2.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = - 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$y = 2 (- 2) - 4$

단계 1.4.2

$2 (- 2) - 4$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = - 4 - 4$

단계 1.4.2.2

$- 4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = - 8$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

단계 2

$2 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 2 x$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 2}^{2} 2 x - 4 d x$

단계 4

$- 2$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - (2 x - 4) d x$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{2} + 2 x - (2 x) - - 4$

단계 4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 2 x - 2 x - - 4$

단계 4.2.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4 d x$

단계 4.3

$- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- x^{2} + 0 + 4$

단계 4.3.2

$- x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- x^{2} + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 4 d x$

단계 4.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

단계 4.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

단계 4.6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

단계 4.7

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

단계 4.8

상수 규칙을 적용합니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

단계 4.9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.9.1

$2$ , $- 2$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

단계 4.9.2

$2$ , $- 2$ 일 때, $4 x$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

단계 4.9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

단계 4.9.3.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

단계 4.9.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

단계 4.9.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

단계 4.9.3.5

$\frac{8}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

단계 4.9.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{8 + 8}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

단계 4.9.3.7

$8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

단계 4.9.3.8

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{16}{3} + 8 - 4 \cdot - 2$

단계 4.9.3.9

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{16}{3} + 8 + 8$

단계 4.9.3.10

$8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- \frac{16}{3} + 16$

단계 4.9.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $16$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

단계 4.9.3.12

$16$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

단계 4.9.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

단계 4.9.3.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.14.1

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 16 + 48}{3}$

단계 4.9.3.14.2

$- 16$ 를 $48$ 에 더합니다.

$\frac{32}{3}$

단계 5