미적분 예제

$2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3} = 2$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

단계 2.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

단계 2.3.4

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ 입니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

단계 2.4.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.3.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

단계 2.4.6

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

단계 2.4.7

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

단계 2.5.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

단계 2.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y'$

단계 3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1.1

방정식의 양변에 $y^{3}$ 를 더합니다.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

단계 5.1.2

방정식의 양변에서 $6 x^{2}$ 를 뺍니다.

$x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2}$

단계 5.1.3

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$x^{2} y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

단계 5.2

$x^{2} y' - 3 y^{2} x y'$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$x^{2} y'$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' x - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

단계 5.2.2

$- 3 y^{2} x y'$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' x + x y' (- 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

단계 5.2.3

$x y' x + x y' (- 3 y^{2})$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

단계 5.3

$x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ 의 각 항을 $x (x - 3 y^{2})$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ 의 각 항을 $x (x - 3 y^{2})$ 로 나눕니다.

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.2.2

$x - 3 y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1.1

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1.1.1

$- 6 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.3.1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 y}{x - 3 y^{2}}$

단계 5.3.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

단계 5.3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

단계 5.3.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x (x - 3 y^{2})$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.3.3.3.1

$\frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{(x - 3 y^{2}) x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

단계 5.3.3.3.2

$(x - 3 y^{2}) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

단계 5.3.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

단계 5.3.3.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.3.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y' = \frac{y^{3} - 6 (x \cdot x)}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

단계 5.3.3.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

단계 5.3.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

단계 5.3.3.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x (x - 3 y^{2})$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.3.3.7.1

$\frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{(x - 3 y^{2}) x}$

단계 5.3.3.7.2

$(x - 3 y^{2}) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 5.3.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$