미적분 예제

$\tan (x + y) = x$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\tan (x + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.1.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\sec^{2} (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\sec^{2} (x + y) (1 + y')$

단계 3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ 의 각 항을 $\sec^{2} (x + y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ 의 각 항을 $\sec^{2} (x + y)$ 로 나눕니다.

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

단계 5.1.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.2.1

$\sec^{2} (x + y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

단계 5.1.2.1.2

$1 + y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 + y' = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

단계 5.1.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$

단계 5.1.3.2

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$ 을 ${(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + y' = {(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$

단계 5.1.3.3

$\sec (x + y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$1 + y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x + y)}})}^{2}$

단계 5.1.3.4

$\frac{1}{\cos (x + y)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 + y' = {(1 \cos (x + y))}^{2}$

단계 5.1.3.5

$\cos (x + y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + y' = \cos^{2} (x + y)$

단계 5.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y' = \cos^{2} (x + y) - 1$

단계 5.2.2

$\cos^{2} (x + y)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$y' = - 1 + \cos^{2} (x + y)$

단계 5.2.3

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - 1 (1) + \cos^{2} (x + y)$

단계 5.2.4

$\cos^{2} (x + y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$

단계 5.2.5

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$

단계 5.2.6

$- 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$ 을 $- (1 - \cos^{2} (x + y))$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - (1 - \cos^{2} (x + y))$

단계 5.2.7

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$y' = - \sin^{2} (x + y)$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (x + y)$