미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

단계 1

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 1.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 1.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

단계 1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

단계 1.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

단계 1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

단계 2

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

단계 4

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

단계 5

$\frac{π}{4}$ , $0$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

단계 6.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

단계 7.2

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

단계 7.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

단계 7.3

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.14644660 \dots$