미적분 예제

$\int \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

단계 1

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

단계 2

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x$

단계 3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2}{x}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x$

단계 3.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

단계 3.4

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

단계 3.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

단계 3.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

단계 3.5.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

단계 3.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

단계 3.5.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - (2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 5.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 5.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 5.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ 을 $2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 7.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$