미적분 예제

$\frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 2.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 2.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2}{x^{3}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.8

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 4.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})$

단계 4.4

${(x^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})$

단계 4.4.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{- 8} (4 x^{3})$

단계 4.5

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 8} x^{3}$

단계 4.6

지수를 더하여 $x^{- 8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.6.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 (x^{3} x^{- 8})$

단계 4.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{3 - 8}$

단계 4.6.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

단계 5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 x^{- 5}$

단계 5.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

단계 5.4

항을 묶습니다.

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단계 5.4.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

단계 5.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

단계 5.4.3

$6$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

단계 5.4.4

$- 4$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{- 4}{x^{5}}$

단계 5.4.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - \frac{4}{x^{5}}$