미적분 예제

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$

단계 1

$f (x) = x^{2} + 1$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(x^{2} + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.4.2

$x^{2} + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x)$

단계 2.8.2

$x^{2} - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot (x^{2} - 1) x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 (x^{2} - 1) x$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 (x^{2} - 1) x$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + (2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.5

항을 묶습니다.

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단계 3.5.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.5.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.5.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.5.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.5.7

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.5.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} - 2 x$

단계 3.5.9

$2 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$4 x^{3} + 2 x - 2 x$

단계 3.5.10

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$4 x^{3} + 0$

단계 3.5.11

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x^{3}$