미적분 예제

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}}$

단계 1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - {(5 - 3 x)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- {(5 - 3 x)}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- {(5 - 3 x)}^{2}]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- {(5 - 3 x)}^{2}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $- {(5 - 3 x)}^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- {(5 - 3 x)}^{2}]$

단계 2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- {(5 - 3 x)}^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{2}]$ 입니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{2}])$

단계 3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 5 - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 - 3 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 - 3 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- (2 (5 - 3 x) \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 ((5 - 3 x) \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $5 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

단계 4.3

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

단계 4.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 에 더합니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 4.5

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.6

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 (5 - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 (5 - 3 x) \cdot 1)$

단계 4.8

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 (5 - 3 x))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 \cdot 5 + 6 (- 3 x))$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (30 + 6 (- 3 x))$

단계 5.2.2

$- 3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (30 - 18 x)$