미적분 예제

${(x^{2} + 1)}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (x^{2} + 1) (2 x)$

단계 2.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (x^{2} + 1) x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 x^{2} + 4 \cdot 1) x$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} x + 4 \cdot 1 x$

단계 3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot 1 x$

단계 3.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot 1 x$

단계 3.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 x^{3} + 4 \cdot 1 x$

단계 3.3.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 4 x$