미적분 예제

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{x}]$

단계 1.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{x}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} x}]$

단계 1.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{x}{2}}]$

단계 2

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$x^{\frac{x}{2}}$ 을 $e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}]$

단계 2.2

$\frac{x}{2}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\frac{x}{2}})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2} \ln (x)}]$

단계 3

$\frac{x}{2}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x \ln (x)}{2}}]$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x \ln (x)}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x \ln (x)}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $\frac{x \ln (x)}{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

단계 5

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x \ln (x)}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 입니다.

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

단계 5.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{\frac{x \ln (x)}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

단계 6

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

단계 8.4

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

단계 9.2

항을 묶습니다.

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단계 9.2.1

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

단계 9.2.2

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \ln (x)}{2}$