미적분 예제

$f (x) = \ln (x)$

단계 1

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2}$

단계 2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2.3

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 3.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 x^{- 3} + 0$

단계 3.2.6.2

$2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x^{- 3}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{x^{3}}$

단계 3.3.2

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{x^{3}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

단계 4.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

단계 4.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

단계 4.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 4.3

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- 3 x^{- 4})$

단계 4.4

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 6 x^{- 4}$

단계 4.5

간단히 합니다.

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단계 4.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 6 \frac{1}{x^{4}}$

단계 4.5.2

항을 묶습니다.

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단계 4.5.2.1

$- 6$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6}{x^{4}}$

단계 4.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $- \frac{6}{x^{4}}$ 입니다.

$- \frac{6}{x^{4}}$