미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.2.4

$\frac{4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 6 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

단계 1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

단계 1.2.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

단계 1.2.3.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $6 x^{2} + 12 x$ 입니다.

$6 x^{2} + 12 x$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $6 x^{2} + 12 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$6 x^{2} + 12 x = 0$

단계 2.2

$6 x^{2} + 12 x$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6 x^{2}$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x) + 12 x = 0$

단계 2.2.2

$12 x$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

단계 2.2.3

$6 x (x) + 6 x (2)$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x + 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.6

$6 x (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

단계 3.1.2.1.2

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

단계 3.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

단계 3.1.2.1.4

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 3.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 3.1.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.2

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 3.3

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 에 $- 2$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

단계 3.3.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

단계 3.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

단계 3.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

단계 3.3.2.1.3

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

단계 3.3.2.1.4

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 8 - 16$

단계 3.3.2.2

$8$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = - 8$

단계 3.3.2.3

최종 답은 $- 8$ 입니다.

$- 8$

단계 3.4

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 에 $- 2$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 2, - 8)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 2, - 8)$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 2.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

단계 5.2.1.2

$6$ 에 $4.41$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

단계 5.2.1.3

$12$ 에 $- 2.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

단계 5.2.2

$26.46$ 에서 $25.2$ 을 뺍니다.

$f'' (- 2.1) = 1.26$

단계 5.2.3

최종 답은 $1.26$ 입니다.

$1.26$

단계 5.3

$- 2.1$ 에서의 이계도함수는 $1.26$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 2, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

단계 6.2.1.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

단계 6.2.1.3

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1) = 6 - 12$

단계 6.2.2

$6$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f'' (- 1) = - 6$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 6$ 입니다.

$- 6$

단계 6.3

$- 1$ 에서의 2차 미분값은 $- 6$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- 2, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- 2, 0)$ 에서 감소함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

단계 7.2.1.2

$6$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

단계 7.2.1.3

$12$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

단계 7.2.2

$0.06$ 를 $1.2$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = 1.26$

단계 7.2.3

최종 답은 $1.26$ 입니다.

$1.26$

단계 7.3

$0.1$ 에서의 이계도함수는 $1.26$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

단계 9