미적분 예제

$lim_{x \to - 2} \frac{x + 2}{x^{3} + 8}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $- 2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

단계 1.1.2.1.2

$x$ 가 $- 2$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $- 2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

단계 1.1.2.3

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $- 2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

단계 1.1.3.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

단계 1.1.3.1.3

$x$ 가 $- 2$ 에 가까워질 때 상수값 $8$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 8}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $- 2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + 8}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{0}{- 8 + 8}$

단계 1.1.3.3.2

$- 8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - 2} \frac{x + 2}{x^{3} + 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 2} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

단계 1.3.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{x \to - 2} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

단계 1.3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]}$

단계 1.3.7

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]}$

단계 1.3.8

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x^{2} + 0}$

단계 1.3.9

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x^{2}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{3}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 2} \frac{1}{x^{2}}$

단계 2.2

$x$ 가 $- 2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2}}$

단계 2.3

$x$ 가 $- 2$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} x^{2}}$

단계 2.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

단계 3

$x$ 에 $- 2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

조합합니다.

$\frac{1 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{2}}$

단계 4.2

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 {(- 2)}^{2}}$

단계 4.3

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{3 \cdot 4}$

단계 4.4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{12}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{12}$

소수 형태:

$0.08\overline{3}$