미적분 예제

$\int_{25}^{3} 6 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

단계 1

$6$ 와 $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ 을 묶습니다.

$\int_{25}^{3} \frac{6 \ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

단계 2

$6$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int_{25}^{3} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

단계 3

$\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$6 \int_{25}^{3} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

단계 4

$u = \ln (y)$ 이고 $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y)$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y)$

단계 5.2

$y^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2}{y}$ 을 묶습니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y)$

단계 5.3

$y^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y)$

단계 5.4

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $y^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

단계 5.5

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$y$ 에 $y^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

단계 5.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y)$

단계 5.5.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y)$

단계 5.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y)$

단계 5.5.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

단계 6

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - (2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y))$

단계 7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

단계 7.2

$y^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y)$

단계 7.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y)$

단계 7.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{- 1}{2}} d y)$

단계 7.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{- \frac{1}{2}} d y)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $y^{- \frac{1}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$3$ , $25$ 일 때, $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ 값을 계산합니다.

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

단계 9.2

$3$ , $25$ 일 때, $2 y^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$\ln (3)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$6 (2 \cdot \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{1}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3.5

지수값을 계산합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3.6

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) \cdot 10 - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3.7

$10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3.8

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

단계 9.3.9

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

단계 9.3.10

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.10.1

공약수로 약분합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

단계 9.3.10.2

수식을 다시 씁니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{1}))$

단계 9.3.11

지수값을 계산합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5))$

단계 9.3.12

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$\ln (25)$ 을 $\ln (5^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (5^{2}) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

단계 10.1.2

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (5^{2})$ 을 전개합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 (2 \ln (5)) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

단계 10.1.3

$2$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

단계 10.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot - 10)$

단계 10.1.5

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 10)$

단계 10.1.6

$- 2$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 20)$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

단계 10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

단계 10.3.2

$- 20$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

단계 10.3.3

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 6 \cdot 20$

단계 10.3.4

$6$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

소수 형태:

$- 91.86754125 \dots$