미적분 예제

$\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + e^{x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = e^{x} d x$ 이므로 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + e^{x}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + e^{x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 1.1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + e^{x}$

단계 1.1.4

$0$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$e^{x}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{u} d u$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 4

$u$ 를 모두 $1 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$