미적분 예제

$\int_{1}^{2} x \ln (x) d x$

단계 1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x} d x)$

단계 4.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

단계 4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

단계 4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

단계 4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x}{1} d x)$

단계 4.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

단계 6.2

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{2} x^{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.2

$\ln (2)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.3

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$4 \ln (2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.3.2.4

$2 \ln (2)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.5

$\ln (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.7

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.8

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.8.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.8.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.3.9

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

단계 6.3.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2})$

단계 6.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

단계 6.3.12

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

단계 6.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

단계 6.3.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.14.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2}$

단계 6.3.14.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

단계 6.3.15

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

단계 6.3.16

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{4}$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$2 \ln (2) - \frac{0}{2} - \frac{3}{4}$

단계 7.1.2

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$2 \ln (2) - 0 - \frac{3}{4}$

단계 7.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \ln (2) + 0 - \frac{3}{4}$

단계 7.2

$2 \ln (2)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

소수 형태:

$0.63629436 \dots$