미적분 예제

$\ln (1 + x)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $1 + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + x} \cdot 1$

단계 2.5

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$\frac{1}{1 + x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x}$

단계 2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x + 1}$