미적분 예제

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ 을(를) ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ 입니다.

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ , $g (x) = 4 x^{4} + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x^{4} + 4$ 로 바꿉니다.

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.2.2

$n = \frac{1}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $4 x^{4} + 4$ 로 바꿉니다.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.6.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.8

$\frac{1}{4}$ 와 ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ 을 묶습니다.

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

단계 4.10

$\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ 와 $16$ 을 묶습니다.

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

단계 4.11

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

단계 4.12

공약수로 약분합니다.

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단계 4.12.1

$4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

단계 4.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

단계 4.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

단계 4.13

합의 법칙에 의해 $4 x^{4} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 4.14

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{4}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 4.15

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

단계 4.16

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

단계 4.17

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

단계 4.18

분수를 통분합니다.

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단계 4.18.1

$16 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

단계 4.18.2

$16$ 와 $\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

단계 4.18.3

$16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

단계 4.18.4

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$