미적분 예제

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

단계 1

먼저 $u = 8 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 8 d x$ 이므로 $\frac{1}{8} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 8 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$8 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [8 x]$

단계 1.1.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \cdot 1$

단계 1.1.4

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8$

단계 1.2

$u = 8 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

단계 1.3

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = 8 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

단계 1.5

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 64$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 64$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

단계 2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

단계 3

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$64$ , $0$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.4

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.5

$\frac{2}{3}$ 와 $512$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.6

$2$ 에 $512$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.7

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.8

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 6.2.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 6.2.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

단계 6.2.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

단계 6.2.11

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

단계 6.2.12

$0$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

단계 6.2.13

$\frac{1024}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

단계 6.2.14

$\frac{1}{8}$ 에 $\frac{1024}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

단계 6.2.15

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1024}{24}$

단계 6.2.16

$1024$ 및 $24$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.16.1

$1024$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (128)}{24}$

단계 6.2.16.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.16.2.1

$24$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

단계 6.2.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

단계 6.2.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{128}{3}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{128}{3}$

소수 형태:

$42.\overline{6}$

대분수 형식:

$42 \frac{2}{3}$

단계 8