미적분 예제

\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

단계 1

먼저

u = 8 x

$u = 8 x$ 로 정의합니다. 그러면

d u = 8 d x

$d u = 8 d x$ 이므로

\frac{1}{8} d u = d x

$\frac{1}{8} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을

u

$u$ 와

d

$d$

u

$u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

u = 8 x

$u = 8 x$ 로 둡니다.

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

8 x

$8 x$ 를 미분합니다.

\frac{d}{d x} [8 x]

$\frac{d}{d x} [8 x]$

단계 1.1.2

8

$8$ 은

x

$x$ 에 대해 일정하므로

x

$x$ 에 대한

8 x

$8 x$ 의 미분은

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

8 \cdot 1

$8 \cdot 1$

단계 1.1.4

8

$8$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

8

$8$

8

$8$

단계 1.2

u = 8 x

$u = 8 x$ 의

x

$x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

u_{lower} = 8 \cdot 0

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

단계 1.3

8

$8$ 에

0

$0$ 을 곱합니다.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

u = 8 x

$u = 8 x$ 의

x

$x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

u_{upper} = 8 \cdot 8

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

단계 1.5

8

$8$ 에

8

$8$ 을 곱합니다.

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

단계 1.6

u_{lower}

$u_{lower}$ ,

u_{upper}

$u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

단계 1.7

u

$u$ 와

d u

$d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

단계 2

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ 와

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

단계 3

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ 은

u

$u$ 에 대해 상수이므로,

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

단계 4

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ 을(를)

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ 를

u

$u$ 에 대해 적분하면

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

64

$64$ ,

0

$0$ 일 때,

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

64

$64$ 을

8^{2}

$8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3

2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.4

8

$8$ 를

3

$3$ 승 합니다.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.5

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 와

512

$512$ 을 묶습니다.

\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.6

2

$2$ 에

512

$512$ 을 곱합니다.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.7

0

$0$ 을

0^{2}

$0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.8

멱의 법칙을 적용하여

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 6.2.9

2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.9.1

공약수로 약분합니다.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 6.2.9.2

수식을 다시 씁니다.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

단계 6.2.10

0

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도

0

$0$ 이 나옵니다.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

단계 6.2.11

0

$0$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

단계 6.2.12

0

$0$ 에

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

단계 6.2.13

\frac{1024}{3}

$\frac{1024}{3}$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

단계 6.2.14

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ 에

\frac{1024}{3}

$\frac{1024}{3}$ 을 곱합니다.

\frac{1024}{8 \cdot 3}

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

단계 6.2.15

8

$8$ 에

3

$3$ 을 곱합니다.

\frac{1024}{24}

$\frac{1024}{24}$

단계 6.2.16

1024

$1024$ 및

24

$24$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.16.1

1024

$1024$ 에서

8

$8$ 를 인수분해합니다.

\frac{8 (128)}{24}

$\frac{8 (128)}{24}$

단계 6.2.16.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.16.2.1

24

$24$ 에서

8

$8$ 를 인수분해합니다.

\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

단계 6.2.16.2.2

공약수로 약분합니다.

\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

단계 6.2.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

소수 형태:

42.\overline{6}

$42.\overline{6}$

대분수 형식:

42 \frac{2}{3}

$42 \frac{2}{3}$

단계 8