미적분 예제

$\int \sqrt{x} \ln (x) d x$

단계 1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = \sqrt{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

단계 3

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{1}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

단계 4.3

지수를 더하여 $x^{\frac{3}{2}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

단계 4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

단계 4.3.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

단계 4.3.5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ 을 $\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \ln (x)}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2.2

$\frac{2 \ln (x)}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2.3

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$