미적분 예제

$f (x) = x e^{- x}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

단계 1.3.5

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

단계 1.4.2

$- e^{- x} x + e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x e^{- x} + e^{- x}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- x e^{- x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.2.10

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

단계 2.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

단계 2.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

단계 2.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 2.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

단계 2.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

단계 2.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

단계 2.4.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

단계 2.4.2.3

$- e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

단계 2.4.4

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 4.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 4.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 4.1.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 4.1.3

미분합니다.

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단계 4.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 4.1.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 4.1.3.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 4.1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 4.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

단계 4.1.3.5

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

단계 4.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

단계 4.1.4.2

$- e^{- x} x + e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- x e^{- x} + e^{- x}$ 입니다.

$- x e^{- x} + e^{- x}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

단계 5.2

$- x e^{- x} + e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$- x e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

단계 5.2.2

$1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

단계 5.2.3

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

단계 5.4

$e^{- x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$e^{- x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{- x} = 0$

단계 5.4.2

$e^{- x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

단계 5.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 5.4.2.3

$e^{- x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 5.5

$- x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$- x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x + 1 = 0$

단계 5.5.2

$- x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x = - 1$

단계 5.5.2.2

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.5.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 1$

단계 5.6

$e^{- x} (- x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 1$

단계 8

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$e^{- (1)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

단계 9.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

단계 9.1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

단계 9.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

단계 9.1.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

단계 9.1.6

$- 2$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

단계 9.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

단계 9.2

분수를 통분합니다.

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단계 9.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - 2}{e}$

단계 9.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1}{e}$

단계 9.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{e}$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 1$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$e^{- (1)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = e^{- (1)}$

단계 11.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = e^{- 1}$

단계 11.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (1) = \frac{1}{e}$

단계 11.2.4

최종 답은 $\frac{1}{e}$ 입니다.

$y = \frac{1}{e}$

단계 12

$f (x) = x e^{- x}$ 에 대한 극값입니다.

$(1, \frac{1}{e})$ 은 극댓값임

단계 13