미적분 예제

$\int_{5}^{6} x \sqrt{x - 5} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sqrt{x - 5}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})]_{5}^{6} - \int_{5}^{6} \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$x \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{5}^{6} - \int_{5}^{6} \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{5}^{6} - \int_{5}^{6} \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 3

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{5}^{6} - (\frac{2}{3} \int_{5}^{6} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 4

먼저 $u = x - 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = x - 5$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x - 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.4

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u = x - 5$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 - 5$

단계 4.3

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = x - 5$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 6 - 5$

단계 4.5

$6$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 1$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{5}^{6} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{x (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{5}^{6} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$6$ , $5$ 일 때, $\frac{x (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{6 (2 {(6 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

단계 6.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{6 (2 {(6 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$6$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{6 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{6 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \cdot 2}{3} - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.4

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{3} - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.5

$12$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 4}{3} - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{1} - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.5.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 - \frac{5 (2 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.6

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$4 - \frac{5 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.7

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 - \frac{5 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.8

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 - \frac{5 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.9.1

공약수로 약분합니다.

$4 - \frac{5 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.9.2

수식을 다시 씁니다.

$4 - \frac{5 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 - \frac{5 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.11

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 - \frac{5 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.12

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.13.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.13.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.14

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.15

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.16

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.17

$\frac{2}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.18

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.19

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

단계 6.3.20

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.20.1

공약수로 약분합니다.

$4 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

단계 6.3.20.2

수식을 다시 씁니다.

$4 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

단계 6.3.21

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

단계 6.3.22

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

단계 6.3.23

$0$ 에 $\frac{2}{5}$ 을 곱합니다.

$4 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

단계 6.3.24

$\frac{2}{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

단계 6.3.25

$\frac{2}{5}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$4 - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

단계 6.3.26

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 - \frac{4}{5 \cdot 3}$

단계 6.3.27

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 - \frac{4}{15}$

단계 6.3.28

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$4 \cdot \frac{15}{15} - \frac{4}{15}$

단계 6.3.29

$4$ 와 $\frac{15}{15}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 15}{15} - \frac{4}{15}$

단계 6.3.30

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 15 - 4}{15}$

단계 6.3.31

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.31.1

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{60 - 4}{15}$

단계 6.3.31.2

$60$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{56}{15}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{56}{15}$

소수 형태:

$3.7\overline{3}$

대분수 형식:

$3 \frac{11}{15}$

단계 8