미적분 예제

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

단계 1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

단계 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 3 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 3 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $3 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$3 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.1.3

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.2

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.3

$- 9 \sin^{2} (t)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.4

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ 을 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

단계 3.2.2

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

단계 3.2.3

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

단계 3.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

단계 3.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

단계 4

$9$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

단계 5

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

단계 10

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 10.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 10.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 10.2

$u = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

단계 10.3

$2$ 에 $- 0.72972765$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 1.45945531$

단계 10.4

$u = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

단계 10.5

$2$ 에 $0.3398369$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 0.67967381$

단계 10.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

단계 10.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 11

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

단계 13

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

단계 14

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$0.3398369$ , $- 0.72972765$ 일 때, $t$ 값을 계산합니다.

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

단계 14.2

$0.67967381$ , $- 1.45945531$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

단계 14.3

$0.3398369$ 를 $0.72972765$ 에 더합니다.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

단계 15.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (0.67967381)$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

단계 15.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (- 1.45945531)$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

단계 15.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.4.1

$\sin (0.67967381)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

단계 15.1.4.2

$0.62853936$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

단계 15.1.4.3

$\sin (- 1.45945531)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

단계 15.1.4.4

$- 0.99380799$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

단계 15.1.4.5

$- 1$ 에 $- 0.49690399$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

단계 15.1.5

$0.31426968$ 를 $0.49690399$ 에 더합니다.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

단계 15.2

$1.06956456$ 를 $0.81117367$ 에 더합니다.

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

단계 15.3

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$\frac{9}{2}$ 와 $1.88073824$ 을 묶습니다.

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

단계 15.3.2

$9$ 에 $1.88073824$ 을 곱합니다.

$\frac{16.92664417}{2}$

단계 15.4

$16.92664417$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$8.46332208$

단계 16