미적분 예제

$y = x$ , $y = 3 \sqrt{x}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x = 3 \sqrt{x}$

단계 1.2

$x = 3 \sqrt{x}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

근호가 방정식의 우변에 있으므로 양변의 위치를 바꿔 방정식의 좌변에 오도록 합니다.

$3 \sqrt{x} = x$

단계 1.2.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(3 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

단계 1.2.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$3 x^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

단계 1.2.3.2.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

단계 1.2.3.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

단계 1.2.3.2.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

단계 1.2.3.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$9 x^{1} = x^{2}$

단계 1.2.3.2.1.4

간단히 합니다.

$9 x = x^{2}$

단계 1.2.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$9 x - x^{2} = 0$

단계 1.2.4.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$9 u - u^{2} = 0$

단계 1.2.4.2.2

$9 u - u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.1

$9 u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 9 - u^{2} = 0$

단계 1.2.4.2.2.2

$- u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 9 + u (- u) = 0$

단계 1.2.4.2.2.3

$u \cdot 9 + u (- u)$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (9 - u) = 0$

단계 1.2.4.2.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x (9 - x) = 0$

단계 1.2.4.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$9 - x = 0 + y = 3 \sqrt{x}$

단계 1.2.4.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.4.5

$9 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.5.1

$9 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$9 - x = 0$

단계 1.2.4.5.2

$9 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.5.2.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$- x = - 9$

단계 1.2.4.5.2.2

$- x = - 9$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.5.2.2.1

$- x = - 9$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

단계 1.2.4.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

단계 1.2.4.5.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 9}{- 1}$

단계 1.2.4.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.5.2.2.3.1

$- 9$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 9$

단계 1.2.4.6

$x (9 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 9$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 3 \sqrt{0}$

단계 1.3.2

$3 \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 3 \sqrt{0}$

단계 1.3.2.2

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 3 \sqrt{0^{2}}$

단계 1.3.2.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = 3 \cdot 0$

단계 1.3.2.4

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = 9$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $9$ 를 대입합니다.

$y = 3 \sqrt{9}$

단계 1.4.2

$3 \sqrt{9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 3 \sqrt{9}$

단계 1.4.2.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 3 \sqrt{3^{2}}$

단계 1.4.2.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = 3 \cdot 3$

단계 1.4.2.4

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = 9$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(9, 9)$

$(0, 0)$

$(9, 9)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{9} x d x$

단계 3

$0$ 과(와) $9$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - (x) d x$

단계 3.2

$- 1$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - x d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

단계 3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

단계 3.5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$3 \int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

단계 3.6

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

단계 3.7

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

단계 3.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - \int_{0}^{9} x d x$

단계 3.9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9})$

단계 3.10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

단계 3.10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.1

$9$ , $0$ 일 때, $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$3 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

단계 3.10.2.2

$9$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$3 (\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$3 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.5

$2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.6

$54$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.6.1

$54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.6.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.7

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (18 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.8

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.9.1

공약수로 약분합니다.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.9.2

수식을 다시 씁니다.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.11

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 (18 - \frac{0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.12

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.12.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (18 - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.12.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 (18 - \frac{0}{1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.12.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 (18 - 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.13

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 (18 + 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.14

$18$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 \cdot 18 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.15

$3$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$54 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.16

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.17

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{2})$

단계 3.10.2.3.18

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.18.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

단계 3.10.2.3.18.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.18.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 3.10.2.3.18.2.2

공약수로 약분합니다.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 3.10.2.3.18.2.3

수식을 다시 씁니다.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{1})$

단계 3.10.2.3.18.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$54 - (\frac{81}{2} - 0)$

단계 3.10.2.3.19

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$54 - (\frac{81}{2} + 0)$

단계 3.10.2.3.20

$\frac{81}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$54 - \frac{81}{2}$

단계 3.10.2.3.21

공통 분모를 가지는 분수로 $54$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$54 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

단계 3.10.2.3.22

$54$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{54 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

단계 3.10.2.3.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{54 \cdot 2 - 81}{2}$

단계 3.10.2.3.24

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.24.1

$54$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{108 - 81}{2}$

단계 3.10.2.3.24.2

$108$ 에서 $81$ 을 뺍니다.

$\frac{27}{2}$

단계 4