미적분 예제

$y = \sin (x y)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

단계 3.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

단계 3.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (x y) (x y' + y)$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

단계 3.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $x y' \cos (x y)$ 를 뺍니다.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

단계 5.3

$y' - x y' \cos (x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

단계 5.3.2

$- x y' \cos (x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

단계 5.3.3

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

단계 5.4

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ 의 각 항을 $1 - x \cos (x y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ 의 각 항을 $1 - x \cos (x y)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$1 - x \cos (x y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$