미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{x - 8}{x^{2} - 7 x + 10} d x$

단계 1

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 7 x + 10$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $10$ 이고 합은 $- 7$ 입니다.

$- 5, - 2$

단계 1.1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{x - 8}{(x - 5) (x - 2)}$

단계 1.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 5}$

단계 1.1.3

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x - 2}$

단계 1.1.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x - 5) (x - 2)$ 입니다.

$\frac{(x - 8) (x - 5) (x - 2)}{(x - 5) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

단계 1.1.5

$x - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 8) (x - 5) (x - 2)}{(x - 5) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

단계 1.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

단계 1.1.6

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

단계 1.1.6.2

$x - 8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x - 8 = \frac{(A) (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

단계 1.1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

$x - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$x - 8 = \frac{A (x - 5) (x - 2)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

단계 1.1.7.1.2

$(A) (x - 2)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x - 8 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

단계 1.1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 8 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

단계 1.1.7.3

$A$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$x - 8 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

단계 1.1.7.4

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$x - 8 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 5) (x - 2)}{x - 2}$

단계 1.1.7.4.2

$(B) (x - 5)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x - 8 = A x - 2 A + (B) (x - 5)$

단계 1.1.7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 8 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 5$

단계 1.1.7.6

$B$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$x - 8 = A x - 2 A + B x - 5 B$

단계 1.1.8

$- 2 A$ 를 옮깁니다.

$x - 8 = A x + B x - 2 A - 5 B$

단계 1.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A + B$

단계 1.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 8 = - 2 A - 5 B$

단계 1.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$1 = A + B$

$- 8 = - 2 A - 5 B$

$1 = A + B$

$- 8 = - 2 A - 5 B$

단계 1.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$1 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$A + B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 1$

$- 8 = - 2 A - 5 B$

단계 1.3.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 A - 5 B$

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 A - 5 B$

단계 1.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $1 - B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$- 8 = - 2 A - 5 B$ 의 $A$ 를 모두 $1 - B$ 로 바꿉니다.

$- 8 = - 2 (1 - B) - 5 B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$- 2 (1 - B) - 5 B$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 8 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) - 5 B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.2.2.1.1.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 = - 2 - 2 (- B) - 5 B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.2.2.1.1.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 8 = - 2 + 2 B - 5 B$

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 + 2 B - 5 B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.2.2.1.2

$2 B$ 에서 $5 B$ 을 뺍니다.

$- 8 = - 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$- 8 = - 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3

$- 8 = - 2 - 3 B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$- 2 - 3 B = - 8$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 2 - 3 B = - 8$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$- 3 B = - 8 + 2$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.2.2

$- 8$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 3 B = - 6$

$A = 1 - B$

$- 3 B = - 6$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.3

$- 3 B = - 6$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.1

$- 3 B = - 6$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.3.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{- 6}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 6}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 6}{- 3}$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.3.1

$- 6$ 을 $- 3$ 로 나눕니다.

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

단계 1.3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$A = 1 - B$ 의 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

$A = 1 - (2)$

$B = 2$

단계 1.3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

$1 - (2)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A = 1 - 2$

$B = 2$

단계 1.3.4.2.1.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

단계 1.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = - 1, B = 2$

단계 1.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x - 2}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{- 1}{x - 5} + \frac{2}{x - 2}$

단계 1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 5} + \frac{2}{x - 2} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 5} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 5} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

단계 4

먼저 $u_{1} = x - 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{1} = x - 5$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x - 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.4

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u_{1} = x - 5$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 - 5$

단계 4.3

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 5$

단계 4.4

$u_{1} = x - 5$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 - 5$

단계 4.5

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 4$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 5$

$u_{upper} = - 4$

단계 4.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- \int_{- 5}^{- 4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

단계 5

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 5}^{- 4}) + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

단계 6

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 5}^{- 4}) + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x$

단계 7

먼저 $u_{2} = x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u_{2} = x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

단계 7.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 7.1.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 7.2

$u_{2} = x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 - 2$

단계 7.3

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 2$

단계 7.4

$u_{2} = x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 - 2$

단계 7.5

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

단계 7.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 5}^{- 4}) + 2 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 8

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 5}^{- 4}) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$- 4$ , $- 5$ 일 때, $\ln (| u_{1} |)$ 값을 계산합니다.

$- ((\ln (| - 4 |)) - \ln (| - 5 |)) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

단계 9.2

$- 1$ , $- 2$ 일 때, $\ln (| u_{2} |)$ 값을 계산합니다.

$- ((\ln (| - 4 |)) - \ln (| - 5 |)) + 2 ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

단계 9.3

괄호를 제거합니다.

$- (\ln (| - 4 |) - \ln (| - 5 |)) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- \ln (\frac{| - 4 |}{| - 5 |}) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

단계 10.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- \ln (\frac{| - 4 |}{| - 5 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 4$ 과 $0$ 사이의 거리는 $4$ 입니다.

$- \ln (\frac{4}{| - 5 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

단계 11.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 5$ 과 $0$ 사이의 거리는 $5$ 입니다.

$- \ln (\frac{4}{5}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

단계 11.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 1$ 과 $0$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$- \ln (\frac{4}{5}) + 2 \ln (\frac{1}{| - 2 |})$

단계 11.4

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 2$ 과 $0$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$- \ln (\frac{4}{5}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \ln (\frac{4}{5}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

소수 형태:

$- 1.16315080 \dots$

단계 13