미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.1.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.2

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.6

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{1}$

단계 1.4

$5 \cos (5 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

단계 2.2

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

단계 2.3

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

단계 3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$5 \cos (5 \cdot 0)$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$5 \cos (0)$

단계 4.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$5 \cdot 1$

단계 4.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$