미적분 예제

$\int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{5 \sqrt{x}} d x$

단계 1

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

단계 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 2.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 2.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 2.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 3

먼저 $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 이므로 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$x^{\frac{1}{2}} + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.3.1

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 3.1.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 3.1.3.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 3.1.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 3.1.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 3.1.3.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 3.1.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 3.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

단계 3.1.5

간단히 합니다.

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단계 3.1.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

단계 3.1.5.2

항을 묶습니다.

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단계 3.1.5.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

단계 3.1.5.2.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} \int 2 u^{2} d u$

단계 4

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} (2 \int u^{2} d u)$

단계 5

$2$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} \int u^{2} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ 을 $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{2}{5}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{3} + C$

단계 7.2.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{15} u^{3} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}} + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{15} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{3} + C$