미적분 예제

$\int \ln (2 x + 1) d x$

단계 1

$u = \ln (2 x + 1)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (2 x + 1) x - \int x \frac{2}{2 x + 1} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 와 $\frac{2}{2 x + 1}$ 을 묶습니다.

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x + 1} d x$

단계 2.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{2 x}{2 x + 1} d x$

단계 3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (2 x + 1) x - (2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x)$

단계 4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x$

단계 5

$x$ 을 $2 x + 1$ 로 나눕니다.

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단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$1$

$x$

$0$

단계 5.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{2}$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x + \frac{1}{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

단계 5.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

단계 8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x))$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

단계 11

먼저 $u = 2 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 11.1

$u = 2 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1.1

$2 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 11.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 11.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 11.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 11.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 11.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 11.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 11.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

단계 12.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 14.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 15

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C))$

단계 16

간단히 합니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C$

단계 17

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 18.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

단계 18.1.2

$\ln (| 2 x + 1 |)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

단계 18.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

단계 18.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 18.3.1

$\frac{x}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

단계 18.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

단계 18.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

단계 18.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 18.5.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (2 x + 1) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

단계 18.5.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

단계 18.5.3

공약수로 약분합니다.

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

단계 18.5.4

수식을 다시 씁니다.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

단계 18.6

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (2 x + 1) x - \frac{2 x - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

단계 19

항을 다시 정렬합니다.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$