미적분 예제

\sqrt{2 x - x^{2}}

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

단계 1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

\sqrt{2 x - x^{2}}

$\sqrt{2 x - x^{2}}$ 을(를)

{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

\frac{d}{d x} [{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

f (x) = x^{\frac{1}{2}}

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ,

g (x) = 2 x - x^{2}

$g (x) = 2 x - x^{2}$ 일 때

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

u

$u$ 를

2 x - x^{2}

$2 x - x^{2}$ 로 바꿉니다.

\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 2.2

n = \frac{1}{2}

$n = \frac{1}{2}$ 일 때

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 2.3

u

$u$ 를 모두

2 x - x^{2}

$2 x - x^{2}$ 로 바꿉니다.

\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로

- 1

$- 1$ 을 표현하기 위해

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 4

- 1

$- 1$ 와

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

- 1

$- 1$ 에

2

$2$ 을 곱합니다.

\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 6.2

1

$1$ 에서

2

$2$ 을 뺍니다.

\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 7.2

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 와

{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

\frac{{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 7.3

음의 지수 법칙

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여

{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

단계 8

합의 법칙에 의해

2 x - x^{2}

$2 x - x^{2}$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 9

2

$2$ 은

x

$x$ 에 대해 일정하므로

x

$x$ 에 대한

2 x

$2 x$ 의 미분은

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 10

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 11

2

$2$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 12

- 1

$- 1$ 은

x

$x$ 에 대해 일정하므로

x

$x$ 에 대한

- x^{2}

$- x^{2}$ 의 미분은

- \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 13

n = 2

$n = 2$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - (2 x))

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - (2 x))$

단계 14

2

$2$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

(2 - 2 x) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$(2 - 2 x) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.2

2 - 2 x

$2 - 2 x$ 에

\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

\frac{2 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{2 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.3

2

$2$ 에서

2

$2$ 를 인수분해합니다.

\frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.4

- 2 x

$- 2 x$ 에서

2

$2$ 를 인수분해합니다.

\frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.5

2 (1) + 2 (- x)

$2 (1) + 2 (- x)$ 에서

2

$2$ 를 인수분해합니다.

\frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.6

공약수로 약분합니다.

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단계 15.6.1

2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

$2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서

2

$2$ 를 인수분해합니다.

\frac{2 (1 - x)}{2 ({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}

$\frac{2 (1 - x)}{2 ({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

단계 15.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 15.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - x}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$