미적분 예제

$2 x + y^{2} = 8$ , $x = y$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식에서 $x$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$2 x + y^{2} = 8$ 의 $x$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (y) + y^{2} = 8$

$x = y$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

단계 1.2

$2 y + y^{2} = 8$ 의 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$2 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = y$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$u = y$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $y$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

$x = y$

단계 1.2.2.2

AC 방법을 이용하여 $2 u + u^{2} - 8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 8$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 2, 4$

$x = y$

단계 1.2.2.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

단계 1.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = y$

단계 1.2.4

$y - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$y - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$y - 2 = 0$

$x = y$

단계 1.2.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y = 2$

$x = y$

$y = 2$

$x = y$

단계 1.2.5

$y + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$y + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$y + 4 = 0$

$x = y$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$y = - 4$

$x = y$

$y = - 4$

$x = y$

단계 1.2.6

$(y - 2) (y + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$y = 2, - 4$

$x = y$

$y = 2, - 4$

$x = y$

단계 1.3

각 방정식에서 $y$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x = y$ 의 $y$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

$x = 2$

$y = 2$

단계 1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

단계 1.4

각 방정식에서 $y$ 를 모두 $- 4$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x = y$ 의 $y$ 를 모두 $- 4$ 로 바꿉니다.

$x = - 4$

$y = - 4$

단계 1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

단계 2

$x$ 에 대해 $2 x + y^{2} = 8$ 을(를) 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$2 x = 8 - y^{2}$

단계 2.2

$2 x = 8 - y^{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2 x = 8 - y^{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

단계 2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

단계 2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$8$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 4 + \frac{- y^{2}}{2}$

단계 2.2.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = 4 - \frac{y^{2}}{2}$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} d y - \int_{- 4}^{2} y d y$

단계 4

$- 4$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - (y) d y$

단계 4.2

$- 1$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - y d y$

단계 4.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 4}^{2} 4 d y + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

단계 4.4

상수 규칙을 적용합니다.

$4 y]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

단계 4.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 y]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

단계 4.6

$\frac{1}{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 y]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{2} y^{2} d y) + \int_{- 4}^{2} - y d y$

단계 4.7

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - y d y$

단계 4.8

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} y d y$

단계 4.9

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{2})$

단계 4.10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

단계 4.10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.1

$2$ , $- 4$ 일 때, $4 y$ 값을 계산합니다.

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

단계 4.10.2.2

$2$ , $- 4$ 일 때, $\frac{1}{3} y^{3}$ 값을 계산합니다.

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

단계 4.10.2.3

$2$ , $- 4$ 일 때, $\frac{y^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.4.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.2

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$8 + 16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.3

$8$ 를 $16$ 에 더합니다.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.5

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.6

$- 4$ 를 $3$ 승 합니다.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 64) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.7

$- 64$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 64 (\frac{1}{3})) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.8

$64$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 64}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.10

$8$ 를 $64$ 에 더합니다.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.11

$72$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.4.11.1

$72$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.4.11.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.11.2.4

$24$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$24 - \frac{1}{2} \cdot 24 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.12

$24$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 - 24 (\frac{1}{2}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.13

$- 24$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$24 + \frac{- 24}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.14

$- 24$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.4.14.1

$- 24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.4.14.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$24 + \frac{- 12}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.14.2.4

$- 12$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$24 - 12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.15

$24$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.16

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.17

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.4.17.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.17.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.4.17.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.17.2.2

공약수로 약분합니다.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.17.2.3

수식을 다시 씁니다.

$12 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.17.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$12 - (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 4.10.2.4.18

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 - (2 - \frac{16}{2})$

단계 4.10.2.4.19

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.4.19.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

단계 4.10.2.4.19.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.4.19.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

단계 4.10.2.4.19.2.2

공약수로 약분합니다.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

단계 4.10.2.4.19.2.3

수식을 다시 씁니다.

$12 - (2 - \frac{8}{1})$

단계 4.10.2.4.19.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$12 - (2 - 1 \cdot 8)$

단계 4.10.2.4.20

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$12 - (2 - 8)$

단계 4.10.2.4.21

$2$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$12 - - 6$

단계 4.10.2.4.22

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$12 + 6$

단계 4.10.2.4.23

$12$ 를 $6$ 에 더합니다.

$18$

단계 5