미적분 예제

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{1}{x^{4}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ 이므로 $1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{1}{x^{4}}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{1}{x^{4}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 1.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

단계 1.1.2.2

${(x^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

단계 1.1.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 1.1.3

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 x^{- 5}$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

단계 1.1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 1.1.4.2.1

$- 4$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{x^{5}}$

단계 1.1.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{x^{5}}$

단계 1.2

$u = \frac{1}{x^{4}}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

단계 1.3.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = \frac{1}{x^{4}}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}$

단계 1.5

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

단계 2

$- \frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u$

단계 3

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{16}$ , $1$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})$

단계 4.2

간단히 합니다.

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} (- e)$

단계 5.2

$e^{\frac{1}{16}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} - \frac{1}{4} (- e)$

단계 5.3

$- \frac{1}{4} (- e)$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e$

단계 5.3.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{1}{4} e$

단계 5.3.3

$\frac{1}{4}$ 와 $e$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

소수 형태:

$0.41344684 \dots$

단계 7