미적분 예제

$f (x) = x^{4} - x^{2} + x$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - x^{2} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 2 x + 1$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + 0$

단계 2.4.2

$12 x^{2} - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - x^{2} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 x + 1$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 x^{3} - 2 x + 1$ 입니다.

$4 x^{3} - 2 x + 1$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x \approx - 0.88464617$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = - 0.88464617$

단계 8

$x = - 0.88464617$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(- 0.88464617)}^{2} - 2$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$- 0.88464617$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 \cdot 0.78259885 - 2$

단계 9.1.2

$12$ 에 $0.78259885$ 을 곱합니다.

$9.3911863 - 2$

단계 9.2

$9.3911863$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$7.3911863$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = - 0.88464617$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 0.88464617$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = - 0.88464617$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.88464617$ 을 대입합니다.

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

단계 11.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$- 0.88464617$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

단계 11.2.2.2

$- 0.88464617$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 1 \cdot 0.78259885 - 0.88464617$

단계 11.2.2.3

$- 1$ 에 $0.78259885$ 을 곱합니다.

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 0.78259885 - 0.88464617$

단계 11.2.3

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$0.61246097$ 에서 $0.78259885$ 을 뺍니다.

$f (- 0.88464617) = - 0.17013788 - 0.88464617$

단계 11.2.3.2

$- 0.17013788$ 에서 $0.88464617$ 을 뺍니다.

$f (- 0.88464617) = - 1.05478406$

단계 11.2.4

최종 답은 $- 1.05478406$ 입니다.

$y = - 1.05478406$

단계 12

$f (x) = x^{4} - x^{2} + x$ 에 대한 극값입니다.

$(- 0.88464617, - 1.05478406)$ 은 극솟값임

단계 13