미적분 예제

$f (x) = x^{a} {(1 - x)}^{b}$ , $0 \leq x \leq 1$

단계 1

임계점을 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$f (x) = x^{a}$ , $g (x) = {(1 - x)}^{b}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{a} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{b}] + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.2

$f (x) = x^{b}$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$x^{a} (\frac{d}{d u} [u^{b}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.2.2

$n = b$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{a} (b u^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.2.3

$u$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- 1 \cdot 1)) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.3.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \cdot - 1) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.3.6.2

$b {(1 - x)}^{b - 1}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{a} (- 1 \cdot (b {(1 - x)}^{b - 1})) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.3.6.3

$- 1 b$ 을 $- b$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

단계 1.1.1.3.7

$n = a$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} (a x^{a - 1})$

단계 1.1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$

단계 1.1.1.4.2

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

단계 1.1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$ 입니다.

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

단계 1.2

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b} = 0$

단계 1.3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 1.4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 2

포함된 끝점에서 구합니다.

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단계 2.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 2.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${(0)}^{a} {(1 - (0))}^{b}$

단계 2.1.2

간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

$1$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$0^{a} \cdot 1^{b}$

단계 2.1.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$0^{a} \cdot 1$

단계 2.1.2.3

$0^{a}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0^{a}$

단계 2.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

${(1)}^{a} {(1 - (1))}^{b}$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 {(1 - (1))}^{b}$

단계 2.2.2.2

${(1 - (1))}^{b}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 - (1))}^{b}$

단계 2.2.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 - 1)}^{b}$

단계 2.2.2.4

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0^{b}$

단계 2.3

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0^{a}), (1, 0^{b})$

단계 3

주어진 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 결정하기 위하여 각 $x$ 값에 대해 구한 $f (x)$ 값을 비교합니다. 가장 큰 $f (x)$ 값에서 최댓값이 발생하고 가장 작은 $f (x)$ 값에서 최솟값이 발생합니다.

절대 최댓값 없음

절대 최솟값 없음

단계 4