미적분 예제

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ , $[- 2, 1]$

단계 1

임계점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

단계 1.1.1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2}{x^{2}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 1.1.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 1.1.1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.1.1.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.1.1.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.1.1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

단계 1.1.1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- x^{- 2} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

단계 1.1.1.3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

단계 1.1.1.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

단계 1.1.1.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- x^{- 2} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

단계 1.1.1.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

단계 1.1.1.3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 3})$

단계 1.1.1.3.10

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

단계 1.1.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 3}$

단계 1.1.1.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}$

단계 1.1.1.6

$4$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

단계 1.1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ 입니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

단계 1.2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$

단계 1.2.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x^{2}, x^{3}, 1$

단계 1.2.2.2

$x^{2}, x^{3}, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $1, 1, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $x^{2}, x^{3}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 1.2.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 1.2.2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 1.2.2.5

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 1.2.2.6

$x^{2}$ 의 인수는 $x \cdot x$ 이며 $x$ 를 $2$ 번 곱한 값입니다.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ 는 $2$ 번 나타납니다.

단계 1.2.2.7

$x^{3}$ 의 인수는 $x \cdot x \cdot x$ 이며 $x$ 를 $3$ 번 곱한 값입니다.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ 는 $3$ 번 나타납니다.

단계 1.2.2.8

$x^{2}, x^{3}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$x \cdot x \cdot x$

단계 1.2.2.9

$x \cdot x \cdot x$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.9.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} \cdot x$

단계 1.2.2.9.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.9.2.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.9.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} \cdot x^{1}$

단계 1.2.2.9.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2 + 1}$

단계 1.2.2.9.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{3}$

단계 1.2.3

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ 의 각 항에 $x^{3}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ 의 각 항에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 1.2.3.2.1.1.2

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 1.2.3.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 1.2.3.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- x + 4 = 0 x^{3}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$0$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$- x + 4 = 0$

단계 1.2.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x = - 4$

단계 1.2.4.2

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.4.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 4$

단계 1.3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 1.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 1.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 1.3.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 1.3.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 1.3.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4}{x^{3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{3} = 0$

단계 1.3.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 1.3.4.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 1.3.4.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 1.4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x = 4$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{2}{{(4)}^{2}}$

단계 1.4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{2}{16}$

단계 1.4.1.2.1.2

$2$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{16}$

단계 1.4.1.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1.2.2.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

단계 1.4.1.2.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

단계 1.4.1.2.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

단계 1.4.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

단계 1.4.1.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

단계 1.4.1.2.3.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

단계 1.4.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 - 1}{8}$

단계 1.4.1.2.5

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{8}$

단계 1.4.2

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{1}{0} - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

단계 1.4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{0} - \frac{2}{0}$

단계 1.4.2.2.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 1.4.3

모든 점을 나열합니다.

$(4, \frac{1}{8})$

단계 2

구간에 없는 점은 제외합니다.

단계 3

포함된 끝점에서 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x = - 2$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$\frac{1}{- 2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

단계 3.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.1.2

$2$ 및 ${(- 2)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.2.1

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.1.2.2

$- 1 (- 2)$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

단계 3.1.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.2.3.1

${(- 2)}^{2}$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

단계 3.1.2.1.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

단계 3.1.2.1.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1}{- 2}$

단계 3.1.2.1.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

단계 3.1.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

단계 3.1.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.2.1

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2}{2}$

단계 3.1.2.2.2.2

$- 2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 3.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

단계 3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

단계 3.2.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 - \frac{2}{1}$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 - 1 \cdot 2$

단계 3.2.2.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$1 - 2$

단계 3.2.2.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 3.3

모든 점을 나열합니다.

$(- 2, - 1), (1, - 1)$

단계 4

주어진 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 결정하기 위하여 각 $x$ 값에 대해 구한 $f (x)$ 값을 비교합니다. 가장 큰 $f (x)$ 값에서 최댓값이 발생하고 가장 작은 $f (x)$ 값에서 최솟값이 발생합니다.

절댓값 최대: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

절댓값 최소: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

단계 5