미적분 예제

$g (x) = x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 4$

단계 1

임계점을 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.1.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.1.3.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.1.3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

단계 1.1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

단계 1.1.1.4.2

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

단계 1.1.2

$g (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$ 입니다.

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

단계 1.2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x} = 0$

단계 1.2.2

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$ 에서 $x^{2} e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1

$- x^{3} e^{- x}$ 에서 $x^{2} e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} e^{- x} (- x) + 3 x^{2} e^{- x} = 0$

단계 1.2.2.2

$3 x^{2} e^{- x}$ 에서 $x^{2} e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} e^{- x} (- x) + x^{2} e^{- x} (3) = 0$

단계 1.2.2.3

$x^{2} e^{- x} (- x) + x^{2} e^{- x} (3)$ 에서 $x^{2} e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

단계 1.2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 1.2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 1.2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 1.2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 1.2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$e^{- x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.5.1

$e^{- x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{- x} = 0$

단계 1.2.5.2

$e^{- x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.5.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

단계 1.2.5.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 1.2.5.2.3

$e^{- x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 1.2.6

$- x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.6.1

$- x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x + 3 = 0$

단계 1.2.6.2

$- x + 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.6.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- x = - 3$

단계 1.2.6.2.2

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.2.2.1

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 1.2.6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 1.2.6.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 3}{- 1}$

단계 1.2.6.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.2.2.3.1

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 3$

단계 1.2.7

$x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3$

단계 1.3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 1.4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x^{3} e^{- x}$ 을 구합니다.

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단계 1.4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${(0)}^{3} e^{- (0)}$

단계 1.4.1.2

간단히 합니다.

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단계 1.4.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 e^{- (0)}$

단계 1.4.1.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 e^{0}$

단계 1.4.1.2.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 \cdot 1$

단계 1.4.1.2.4

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0$

단계 1.4.2

$x = 3$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

${(3)}^{3} e^{- (3)}$

단계 1.4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 e^{- (3)}$

단계 1.4.2.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$27 e^{- 3}$

단계 1.4.2.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$27 \frac{1}{e^{3}}$

단계 1.4.2.2.4

$27$ 와 $\frac{1}{e^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{27}{e^{3}}$

단계 1.4.3

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0), (3, \frac{27}{e^{3}})$

단계 2

포함된 끝점에서 구합니다.

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단계 2.1

$x = - 1$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 2.1.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

${(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

단계 2.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 e^{- (- 1)}$

단계 2.1.2.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 1 e^{1}$

단계 2.1.2.3

간단히 합니다.

$- 1 e$

단계 2.1.2.4

$- 1 e$ 을 $- e$ 로 바꿔 씁니다.

$- e$

단계 2.2

$x = 4$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

${(4)}^{3} e^{- (4)}$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 e^{- (4)}$

단계 2.2.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$64 e^{- 4}$

단계 2.2.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$64 \frac{1}{e^{4}}$

단계 2.2.2.4

$64$ 와 $\frac{1}{e^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{64}{e^{4}}$

단계 2.3

모든 점을 나열합니다.

$(- 1, - e), (4, \frac{64}{e^{4}})$

단계 3

주어진 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 결정하기 위하여 각 $x$ 값에 대해 구한 $g (x)$ 값을 비교합니다. 가장 큰 $g (x)$ 값에서 최댓값이 발생하고 가장 작은 $g (x)$ 값에서 최솟값이 발생합니다.

절댓값 최대: $(3, \frac{27}{e^{3}})$

절댓값 최소: $(- 1, - e)$

단계 4