미적분 예제

$x^{3} e^{x}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

단계 1.4.2

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

단계 2.2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2} e^{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 입니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x})$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x))$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} + 6 (e^{x} (x))$

단계 2.4.2.2

$e^{x} (3 x^{2})$ 를 $3 x^{2} e^{x}$ 에 더합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

단계 2.4.2.2.2

$3 x^{2} e^{x}$ 를 $3 x^{2} e^{x}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$

단계 2.4.4

$e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

단계 4.1.4

간단히 합니다.

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단계 4.1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

단계 4.1.4.2

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 입니다.

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

단계 5.2

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 에서 $x^{2} e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$x^{3} e^{x}$ 에서 $x^{2} e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

단계 5.2.2

$3 x^{2} e^{x}$ 에서 $x^{2} e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

단계 5.2.3

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ 에서 $x^{2} e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

단계 5.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 5.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 5.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 5.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5.5

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.5.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 5.5.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 5.5.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 5.5.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 5.6

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 5.6.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 5.7

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 3$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, - 3$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

${(0)}^{3} e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

단계 9.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 \cdot 1 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

단계 9.1.3

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

단계 9.1.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 6 \cdot 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

단계 9.1.5

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

단계 9.1.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 + 0 \cdot 1 + 6 (0) e^{0}$

단계 9.1.7

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 6 (0) e^{0}$

단계 9.1.8

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0 e^{0}$

단계 9.1.9

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

단계 9.1.10

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0$

단계 9.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 0$

단계 9.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 의 $(- \infty, - 3)$ 구간에서 $- 6$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 6$ 을 대입합니다.

$f' (- 6) = {(- 6)}^{3} e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1.1

$- 6$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 6) = - 216 e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

단계 10.2.2.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (- 6) = - 216 \frac{1}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

단계 10.2.2.1.3

$- 216$ 와 $\frac{1}{e^{6}}$ 을 묶습니다.

$f' (- 6) = \frac{- 216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

단계 10.2.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

단계 10.2.2.1.5

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 \cdot (36 e^{- 6})$

단계 10.2.2.1.6

$3$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 e^{- 6}$

단계 10.2.2.1.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 (\frac{1}{e^{6}})$

단계 10.2.2.1.8

$108$ 와 $\frac{1}{e^{6}}$ 을 묶습니다.

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + \frac{108}{e^{6}}$

단계 10.2.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (- 6) = \frac{- 216 + 108}{e^{6}}$

단계 10.2.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.2.1

$- 216$ 를 $108$ 에 더합니다.

$f' (- 6) = \frac{- 108}{e^{6}}$

단계 10.2.2.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 6) = - \frac{108}{e^{6}}$

단계 10.2.2.3

최종 답은 $- \frac{108}{e^{6}}$ 입니다.

$- \frac{108}{e^{6}}$

단계 10.3

1차 도함수 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 의 $(- 3, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = {(- 2)}^{3} e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1.1

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - 8 e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

단계 10.3.2.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (- 2) = - 8 \frac{1}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

단계 10.3.2.1.3

$- 8$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

단계 10.3.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

단계 10.3.2.1.5

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 \cdot (4 e^{- 2})$

단계 10.3.2.1.6

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 e^{- 2}$

단계 10.3.2.1.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 (\frac{1}{e^{2}})$

단계 10.3.2.1.8

$12$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + \frac{12}{e^{2}}$

단계 10.3.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (- 2) = \frac{- 8 + 12}{e^{2}}$

단계 10.3.2.2.2

$- 8$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

단계 10.3.2.3

최종 답은 $\frac{4}{e^{2}}$ 입니다.

$\frac{4}{e^{2}}$

단계 10.4

1차 도함수 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 의 $(0, \infty)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = {(2)}^{3} e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

단계 10.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (2) = 8 e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

단계 10.4.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = 8 e^{2} + 3 \cdot (4 e^{2})$

단계 10.4.2.1.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 8 e^{2} + 12 e^{2}$

단계 10.4.2.2

$8 e^{2}$ 를 $12 e^{2}$ 에 더합니다.

$f' (2) = 20 e^{2}$

단계 10.4.2.3

최종 답은 $20 e^{2}$ 입니다.

$20 e^{2}$

단계 10.5

1차 도함수의 부호가 $x = - 3$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = - 3$ 은 극솟값입니다.

$x = - 3$ 은 극소값입니다.

단계 10.6

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 10.7

$f (x) = x^{3} e^{x}$ 에 대한 극값입니다.

$x = - 3$ 은 극소값입니다.

단계 11