미적분 예제

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ on $[0, π]$

단계 1

임계점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \cos^{2} (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 1.1.1.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.1.1.2.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.1.1.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.1.1.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$10 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.1.5

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x)$

단계 1.1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 10 \cos (x) \sin (x)$ 입니다.

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

단계 1.2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

단계 1.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

단계 1.2.3

$\cos (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$\cos (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) = 0$

단계 1.2.3.2

$\cos (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 1.2.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 1.2.3.2.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 1.2.3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 1.2.3.2.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 1.2.3.2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 1.2.3.2.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.4.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 1.2.3.2.4.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 1.2.3.2.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 1.2.3.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 1.2.3.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 1.2.3.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 1.2.3.2.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 1.2.4

$\sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$\sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) = 0$

단계 1.2.4.2

$\sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 1.2.4.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 1.2.4.2.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 1.2.4.2.4

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 1.2.4.2.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 1.2.4.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 1.2.4.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 1.2.4.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 1.2.4.2.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n$

단계 1.2.5

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$

단계 1.2.6

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π n}{2}$

단계 1.3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 1.4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $5 \cos^{2} (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$5 \cos^{2} (0)$

단계 1.4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$5 \cdot 1^{2}$

단계 1.4.1.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$5 \cdot 1$

단계 1.4.1.2.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 1.4.2

$x = \frac{π}{2}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 를 대입합니다.

$5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

단계 1.4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$5 \cdot 0^{2}$

단계 1.4.2.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$5 \cdot 0$

단계 1.4.2.2.3

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 1.4.3

모든 점을 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $(0 + π n, 5), (\frac{π}{2} + π n, 0)$

단계 2

구간에 없는 점은 제외합니다.

$(\frac{π}{2}, 0)$

단계 3

1차 도함수 판정법을 사용하여 극대점 또는 극소점이 될 수 있는 점을 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

단계 3.2

1차 도함수 $- 10 \cos (x) \sin (x)$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = - 10 \cos (- 2) \sin (- 2)$

단계 3.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$\cos (- 2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (- 2) = - 10 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2))$

단계 3.2.2.2

$- 10$ 에 $- 0.41614683$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 4.16146836 \sin (- 2)$

단계 3.2.2.3

$\sin (- 2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (- 2) = 4.16146836 \cdot - 0.90929742$

단계 3.2.2.4

$4.16146836$ 에 $- 0.90929742$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 3.78401247$

단계 3.2.2.5

최종 답은 $- 3.78401247$ 입니다.

$- 3.78401247$

단계 3.3

1차 도함수 $- 10 \cos (x) \sin (x)$ 의 $(0, \frac{π}{2})$ 구간에서 $1$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = - 10 \cos (1) \sin (1)$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$\cos (1)$ 의 값을 구합니다.

$f' (1) = - 10 \cdot (0.5403023 \sin (1))$

단계 3.3.2.2

$- 10$ 에 $0.5403023$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 5.40302305 \sin (1)$

단계 3.3.2.3

$\sin (1)$ 의 값을 구합니다.

$f' (1) = - 5.40302305 \cdot 0.84147098$

단계 3.3.2.4

$- 5.40302305$ 에 $0.84147098$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 4.54648713$

단계 3.3.2.5

최종 답은 $- 4.54648713$ 입니다.

$- 4.54648713$

단계 3.4

1차 도함수 $- 10 \cos (x) \sin (x)$ 의 $(\frac{π}{2}, π)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = - 10 \cos (2) \sin (2)$

단계 3.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$\cos (2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (2) = - 10 \cdot (- 0.41614683 \sin (2))$

단계 3.4.2.2

$- 10$ 에 $- 0.41614683$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 4.16146836 \sin (2)$

단계 3.4.2.3

$\sin (2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (2) = 4.16146836 \cdot 0.90929742$

단계 3.4.2.4

$4.16146836$ 에 $0.90929742$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 3.78401247$

단계 3.4.2.5

최종 답은 $3.78401247$ 입니다.

$3.78401247$

단계 3.5

1차 도함수 $- 10 \cos (x) \sin (x)$ 의 $(π, \infty)$ 구간에서 $6$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f' (6) = - 10 \cos (6) \sin (6)$

단계 3.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$\cos (6)$ 의 값을 구합니다.

$f' (6) = - 10 \cdot (0.96017028 \sin (6))$

단계 3.5.2.2

$- 10$ 에 $0.96017028$ 을 곱합니다.

$f' (6) = - 9.60170286 \sin (6)$

단계 3.5.2.3

$\sin (6)$ 의 값을 구합니다.

$f' (6) = - 9.60170286 \cdot - 0.27941549$

단계 3.5.2.4

$- 9.60170286$ 에 $- 0.27941549$ 을 곱합니다.

$f' (6) = 2.68286459$

단계 3.5.2.5

최종 답은 $2.68286459$ 입니다.

$2.68286459$

단계 3.6

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 3.7

1차 도함수의 부호가 $x = \frac{π}{2}$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = \frac{π}{2}$ 은 극솟값입니다.

$x = \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다.

단계 3.8

1차 도함수의 부호가 $x = π$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 3.9

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ 에 대한 극값입니다.

$x = \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다.

단계 4

주어진 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 결정하기 위하여 각 $x$ 값에 대해 구한 $f (x)$ 값을 비교합니다. 가장 큰 $f (x)$ 값에서 최댓값이 발생하고 가장 작은 $f (x)$ 값에서 최솟값이 발생합니다.

절대 최댓값 없음

절댓값 최소: $(\frac{π}{2}, 0)$

단계 5