미적분 예제

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

단계 1

임계점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $\ln (x) - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

단계 1.1.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

단계 1.1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{x} - 1$ 입니다.

$\frac{1}{x} - 1$

단계 1.2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1}{x} - 1 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\frac{1}{x} = 1$

단계 1.2.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x, 1$

단계 1.2.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x$

단계 1.2.4

$\frac{1}{x} = 1$ 의 각 항에 $x$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$\frac{1}{x} = 1$ 의 각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

단계 1.2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

단계 1.2.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = 1 x$

단계 1.2.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.3.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = x$

단계 1.2.5

$x = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = 1$

단계 1.3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 1.4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\ln (x) - x$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\ln (1) - (1)$

단계 1.4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$0 - (1)$

단계 1.4.1.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 1$

단계 1.4.1.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 1.4.2

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\ln (0) - (0)$

단계 1.4.2.2

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 1.4.3

모든 점을 나열합니다.

$(1, - 1)$

단계 2

1차 도함수 판정법을 사용하여 극대점 또는 극소점이 될 수 있는 점을 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

단계 2.2

1차 도함수 $\frac{1}{x} - 1$ 의 $(- \infty, 1)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

단계 2.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

단계 2.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

단계 2.2.2.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

단계 2.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

단계 2.2.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

단계 2.2.2.5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

단계 2.2.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

단계 2.2.2.7

최종 답은 $- \frac{3}{2}$ 입니다.

$- \frac{3}{2}$

단계 2.3

1차 도함수 $\frac{1}{x} - 1$ 의 $(1, \infty)$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

단계 2.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

단계 2.3.2.2

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

단계 2.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

단계 2.3.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.4.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

단계 2.3.2.4.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

단계 2.3.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

단계 2.3.2.6

최종 답은 $- \frac{3}{4}$ 입니다.

$- \frac{3}{4}$

단계 2.4

1차 도함수의 부호가 $x = 1$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 2.5

$f (x) = \ln (x) - x$ 에 대해 극댓값 또는 극솟값 없음.

극댓값 또는 극솟값 없음

단계 3

주어진 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 결정하기 위하여 각 $x$ 값에 대해 구한 $f (x)$ 값을 비교합니다. 가장 큰 $f (x)$ 값에서 최댓값이 발생하고 가장 작은 $f (x)$ 값에서 최솟값이 발생합니다.

절대 최댓값 없음

절대 최솟값 없음

단계 4