미적분 예제

$y = {(x^{3} - 4 x)}^{8}$ at the point $(2, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{8}$ , $g (x) = x^{3} - 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} - 4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

단계 1.1.2

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{3} - 4 x$ 로 바꿉니다.

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 가 됩니다.

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

단계 1.2.3

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \cdot 1)$

단계 1.2.5

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4)$

단계 1.3

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$8 {({(2)}^{3} - 4 \cdot 2)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 {(8 - 4 \cdot 2)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

단계 1.4.1.2

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 {(8 - 8)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

단계 1.4.2

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.1

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$8 \cdot 0^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

단계 1.4.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$8 \cdot 0 (3 {(2)}^{2} - 4)$

단계 1.4.2.3

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 (3 {(2)}^{2} - 4)$

단계 1.4.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$0 (3 \cdot 4 - 4)$

단계 1.4.3.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$0 (12 - 4)$

단계 1.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.4.1

$12$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0 \cdot 8$

단계 1.4.4.2

$0$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$0$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $0$ 과 주어진 점 $(2, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = 0 \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = 0 \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 \cdot (x - 2)$

단계 2.3.2

$0$ 에 $x - 2$ 을 곱합니다.

$y = 0$

단계 3