미적분 예제

$x^{2} + 2 x y - y^{2} + x = 6$ , $(2, 4)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 4$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (6)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x y - y^{2} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + 1$

단계 1.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y' + 1$

단계 1.2.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y' + 1$

단계 1.2.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1$

단계 1.3

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$0$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1 = 0$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y + 1 = - 2 x$

단계 1.5.1.2

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$2 x y' - 2 y y' + 1 = - 2 x - 2 y$

단계 1.5.1.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

단계 1.5.2

$2 x y' - 2 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$2 x y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

단계 1.5.2.2

$- 2 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y - 1$

단계 1.5.2.3

$2 y' x + 2 y' (- y)$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$

단계 1.5.3

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ 의 각 항을 $2 (x - y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ 의 각 항을 $2 (x - y)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.2.2

$x - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.1.3

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.3.1

$- 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{- x - y}{x - y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - y) \cdot 2$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.4.1

$\frac{- x - y}{x - y}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{(x - y) \cdot 2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.4.2

$(x - y) \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{2 (x - y)} - \frac{1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.6.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 2 x - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.7

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.7.1

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x) - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.7.2

$- 2 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x) - (2 y) - 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.7.3

$- (2 x) - (2 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.7.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1 (1)}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.7.5

$- (2 x + 2 y) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.7.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.7.6.1

$- (2 x + 2 y + 1)$ 을 $- 1 (2 x + 2 y + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

단계 1.5.3.3.7.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

단계 1.7

$y = 4$ 와 $x = 2$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$- \frac{2 (2) + 2 y + 1}{2 ((2) - y)}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$- \frac{2 (2) + 2 (4) + 1}{2 ((2) - (4))}$

단계 1.7.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 + 2 (4) + 1}{2 (2 - (4))}$

단계 1.7.3.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 + 8 + 1}{2 (2 - (4))}$

단계 1.7.3.3

$4$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- \frac{12 + 1}{2 (2 - (4))}$

단계 1.7.3.4

$12$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{13}{2 (2 - (4))}$

단계 1.7.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{13}{2 (2 - 4)}$

단계 1.7.4.2

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \frac{13}{2 \cdot - 2}$

단계 1.7.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{13}{- 4}$

단계 1.7.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{13}{4}$

단계 1.7.6

$- - \frac{13}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{13}{4})$

단계 1.7.6.2

$\frac{13}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{13}{4}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $\frac{13}{4}$ 과 주어진 점 $(2, 4)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (4) = \frac{13}{4} \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 4 = \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{13}{4} \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 4 = \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 4 = \frac{13}{4} x + \frac{13}{4} \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$\frac{13}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{4} \cdot - 2$

단계 2.3.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 (2)} \cdot - 2$

단계 2.3.1.5.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2} \cdot - 1$

단계 2.3.1.6

$\frac{13}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13 \cdot - 1}{2}$

단계 2.3.1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.7.1

$13$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13}{2}$

단계 2.3.1.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + 4$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

단계 2.3.2.3

$4$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13 + 4 \cdot 2}{2}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.5.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13 + 8}{2}$

단계 2.3.2.5.2

$- 13$ 를 $8$ 에 더합니다.

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 5}{2}$

단계 2.3.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{5}{2}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{13}{4} x - \frac{5}{2}$

단계 3