미적분 예제

$y = \frac{1 + x}{1 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{2})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = \frac{1}{2}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = 1 + x$ , $g (x) = 1 + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.2.5

$1 + e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.2.6

합의 법칙에 의해 $1 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.2.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.2.8

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.3.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.3.1.2

$- 1 e^{x}$ 을 $- e^{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.3.2

$1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.4.3.2.1

$e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{1 + 0 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.3.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{x} x + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.5

$- e^{x} x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (e^{x} x) + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.6

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.7

$- (e^{x} x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.8

$- (e^{x} x - 1)$ 을 $- 1 (e^{x} x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4.10

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{x e^{x} - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.5

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{0 \cdot 1 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

단계 1.6.1.2

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{0 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

단계 1.6.1.3

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{- 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

단계 1.6.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.6.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{- 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

단계 1.6.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{- 1}{2^{2}}$

단계 1.6.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{- 1}{4}$

단계 1.6.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{1}{4}$

단계 1.6.4

$- - \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

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단계 1.6.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{4})$

단계 1.6.4.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{1}{4}$ 과 주어진 점 $(0, \frac{1}{2})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x$

단계 2.3.1.2

$\frac{1}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{2}$ 를 더합니다.

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

단계 3