미적분 예제

$y = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $(5, 11)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 5$ , $y = 11$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - 8 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.3.3

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 x - 8 + 0$

단계 1.4.2

$4 x - 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x - 8$

단계 1.5

$x = 5$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$4 (5) - 8$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$20 - 8$

단계 1.6.2

$20$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$12$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $12$ 과 주어진 점 $(5, 11)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (11) = 12 \cdot (x - (5))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 11 = 12 \cdot (x - 5)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$12 \cdot (x - 5)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 11 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 5)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 11 = 12 \cdot (x - 5)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 11 = 12 x + 12 \cdot - 5$

단계 2.3.1.4

$12$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$y - 11 = 12 x - 60$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $11$ 를 더합니다.

$y = 12 x - 60 + 11$

단계 2.3.2.2

$- 60$ 를 $11$ 에 더합니다.

$y = 12 x - 49$

단계 3