미적분 예제

$f (x) = \ln (x^{4})$ ; $x = e^{2}$

단계 1

$x = e^{2}$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $e^{2}$ 를 대입합니다.

$y = \ln ({(e^{2})}^{4})$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = \ln ({(e^{2})}^{4})$

단계 1.2.2

$\ln ({(e^{2})}^{4})$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

${(e^{2})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \ln (e^{2 \cdot 4})$

단계 1.2.2.1.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \ln (e^{8})$

단계 1.2.2.2

로그 공식을 이용해 지수에서 $8$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$y = 8 \ln (e)$

단계 1.2.2.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y = 8 \cdot 1$

단계 1.2.2.4

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 8$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = e^{2}$ , $y = 8$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

단계 2.2.2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

$4$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

단계 2.2.2.2

$\frac{4}{x^{4}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

단계 2.2.2.3

$x^{3}$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.3.1

$4 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

단계 2.2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.3.2.1

$x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

단계 2.2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

단계 2.2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{x}$

단계 2.3

$x = e^{2}$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{4}{e^{2}}$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $\frac{4}{e^{2}}$ 과 주어진 점 $(e^{2}, 8)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (8) = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - (e^{2}))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} x + \frac{4}{e^{2}} (- e^{2})$

단계 3.3.1.4

$\frac{4}{e^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (- e^{2})$

단계 3.3.1.5

$e^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1.5.1

$- e^{2}$ 에서 $e^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (e^{2} \cdot - 1)$

단계 3.3.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (e^{2} \cdot - 1)$

단계 3.3.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + 4 \cdot - 1$

단계 3.3.1.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} - 4$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$y = \frac{4 x}{e^{2}} - 4 + 8$

단계 3.3.2.2

$- 4$ 를 $8$ 에 더합니다.

$y = \frac{4 x}{e^{2}} + 4$

단계 3.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{4}{e^{2}} x + 4$

단계 4